解答
d=4⋅cos2(x)sin4(x)−cos2(x)+5
解答
x=arcsin2−1−4d+16d2+24d−15+2πn,x=π+arcsin−2−1−4d+16d2+24d−15+2πn,x=arcsin−2−1−4d+16d2+24d−15+2πn,x=π+arcsin2−1−4d+16d2+24d−15+2πn,x=arcsin2−1−4d−16d2+24d−15+2πn,x=π+arcsin−2−1−4d−16d2+24d−15+2πn,x=arcsin−2−1−4d−16d2+24d−15+2πn,x=π+arcsin2−1−4d−16d2+24d−15+2πn
求解步骤
d=4cos2(x)sin4(x)−cos2(x)+5
交换两边4cos2(x)sin4(x)−cos2(x)+5=d
两边减去 d4cos2(x)sin4(x)−cos2(x)+5−d=0
化简 4cos2(x)sin4(x)−cos2(x)+5−d:4cos2(x)sin4(x)−cos2(x)+5−4dcos2(x)
4cos2(x)sin4(x)−cos2(x)+5−d
将项转换为分式: d=4cos2(x)d4cos2(x)=4cos2(x)sin4(x)−cos2(x)+5−4cos2(x)d⋅4cos2(x)
因为分母相等，所以合并分式: ca±cb=ca±b=4cos2(x)sin4(x)−cos2(x)+5−d⋅4cos2(x)
4cos2(x)sin4(x)−cos2(x)+5−4dcos2(x)=0
g(x)f(x)=0⇒f(x)=0sin4(x)−cos2(x)+5−4dcos2(x)=0
使用三角恒等式改写
5−cos2(x)+sin4(x)−4cos2(x)d
使用毕达哥拉斯恒等式: cos2(x)+sin2(x)=1cos2(x)=1−sin2(x)=5−(1−sin2(x))+sin4(x)−4(1−sin2(x))d
化简 5−(1−sin2(x))+sin4(x)−4(1−sin2(x))d:sin4(x)+sin2(x)+4dsin2(x)+4−4d
5−(1−sin2(x))+sin4(x)−4(1−sin2(x))d
=5−(1−sin2(x))+sin4(x)−4d(1−sin2(x))
−(1−sin2(x)):−1+sin2(x)
−(1−sin2(x))
打开括号=−(1)−(−sin2(x))
使用加减运算法则−(−a)=a,−(a)=−a=−1+sin2(x)
=5−1+sin2(x)+sin4(x)−4(1−sin2(x))d
乘开 −4d(1−sin2(x)):−4d+4dsin2(x)
−4d(1−sin2(x))
使用分配律: a(b−c)=ab−aca=−4d,b=1,c=sin2(x)=−4d⋅1−(−4d)sin2(x)
使用加减运算法则−(−a)=a=−4⋅1⋅d+4dsin2(x)
数字相乘:4⋅1=4=−4d+4dsin2(x)
=5−1+sin2(x)+sin4(x)−4d+4dsin2(x)
数字相减:5−1=4=sin4(x)+sin2(x)+4dsin2(x)+4−4d
=sin4(x)+sin2(x)+4dsin2(x)+4−4d
4+sin2(x)+sin4(x)−4d+4sin2(x)d=0
用替代法求解
4+sin2(x)+sin4(x)−4d+4sin2(x)d=0
令:sin(x)=u4+u2+u4−4d+4u2d=0
4+u2+u4−4d+4u2d=0:u=2−1−4d+16d2+24d−15,u=−2−1−4d+16d2+24d−15,u=2−1−4d−16d2+24d−15,u=−2−1−4d−16d2+24d−15
4+u2+u4−4d+4u2d=0
改写成标准形式 anxn+…+a1x+d=0u4+(1+4d)u2+4−4d=0
用v=u2 和 v2=u4改写方程式v2+(1+4d)v+4−4d=0
解 v2+(1+4d)v+4−4d=0:v=2−1−4d+16d2+24d−15,v=2−1−4d−16d2+24d−15
v2+(1+4d)v+4−4d=0
使用求根公式求解
v2+(1+4d)v+4−4d=0
二次方程求根公式:
若 a=1,b=1+4d,c=4−4dv1,2=2⋅1−(1+4d)±(1+4d)2−4⋅1⋅(4−4d)
v1,2=2⋅1−(1+4d)±(1+4d)2−4⋅1⋅(4−4d)
化简 (1+4d)2−4⋅1⋅(4−4d):16d2+24d−15
(1+4d)2−4⋅1⋅(4−4d)
数字相乘:4⋅1=4=(4d+1)2−4(−4d+4)
乘开 (1+4d)2−4(4−4d):16d2+24d−15
(1+4d)2−4(4−4d)
(1+4d)2:1+8d+16d2
使用完全平方公式: (a+b)2=a2+2ab+b2a=1,b=4d
=12+2⋅1⋅4d+(4d)2
化简 12+2⋅1⋅4d+(4d)2:1+8d+16d2
12+2⋅1⋅4d+(4d)2
使用法则 1a=112=1=1+2⋅1⋅4d+(4d)2
2⋅1⋅4d=8d
2⋅1⋅4d
数字相乘:2⋅1⋅4=8=8d
(4d)2=16d2
(4d)2
使用指数法则: (a⋅b)n=anbn=42d2
42=16=16d2
=1+8d+16d2
=1+8d+16d2
=1+8d+16d2−4(4−4d)
乘开 −4(4−4d):−16+16d
−4(4−4d)
使用分配律: a(b−c)=ab−aca=−4,b=4,c=4d=−4⋅4−(−4)⋅4d
使用加减运算法则−(−a)=a=−4⋅4+4⋅4d
数字相乘:4⋅4=16=−16+16d
=1+8d+16d2−16+16d
化简 1+8d+16d2−16+16d:16d2+24d−15
1+8d+16d2−16+16d
对同类项分组=16d2+8d+16d+1−16
同类项相加:8d+16d=24d=16d2+24d+1−16
数字相加/相减:1−16=−15=16d2+24d−15
=16d2+24d−15
=16d2+24d−15
v1,2=2⋅1−(1+4d)±16d2+24d−15
将解分隔开v1=2⋅1−(1+4d)+16d2+24d−15,v2=2⋅1−(1+4d)−16d2+24d−15
v=2⋅1−(1+4d)+16d2+24d−15:2−1−4d+16d2+24d−15
2⋅1−(1+4d)+16d2+24d−15
数字相乘:2⋅1=2=2−(4d+1)+16d2+24d−15
−(1+4d):−1−4d
−(1+4d)
打开括号=−(1)−(4d)
使用加减运算法则+(−a)=−a=−1−4d
=2−1−4d+16d2+24d−15
v=2⋅1−(1+4d)−16d2+24d−15:2−1−4d−16d2+24d−15
2⋅1−(1+4d)−16d2+24d−15
数字相乘:2⋅1=2=2−(4d+1)−16d2+24d−15
−(1+4d):−1−4d
−(1+4d)
打开括号=−(1)−(4d)
使用加减运算法则+(−a)=−a=−1−4d
=2−1−4d−16d2+24d−15
二次方程组的解是:v=2−1−4d+16d2+24d−15,v=2−1−4d−16d2+24d−15
v=2−1−4d+16d2+24d−15,v=2−1−4d−16d2+24d−15
代回 v=u2，求解 u
解 u2=2−1−4d+16d2+24d−15:u=2−1−4d+16d2+24d−15,u=−2−1−4d+16d2+24d−15
u2=2−1−4d+16d2+24d−15
对于 x2=f(a) 解为 x=f(a),−f(a)
u=2−1−4d+16d2+24d−15,u=−2−1−4d+16d2+24d−15
解 u2=2−1−4d−16d2+24d−15:u=2−1−4d−16d2+24d−15,u=−2−1−4d−16d2+24d−15
u2=2−1−4d−16d2+24d−15
对于 x2=f(a) 解为 x=f(a),−f(a)
u=2−1−4d−16d2+24d−15,u=−2−1−4d−16d2+24d−15
解为
u=2−1−4d+16d2+24d−15,u=−2−1−4d+16d2+24d−15,u=2−1−4d−16d2+24d−15,u=−2−1−4d−16d2+24d−15
u=sin(x)代回sin(x)=2−1−4d+16d2+24d−15,sin(x)=−2−1−4d+16d2+24d−15,sin(x)=2−1−4d−16d2+24d−15,sin(x)=−2−1−4d−16d2+24d−15
sin(x)=2−1−4d+16d2+24d−15,sin(x)=−2−1−4d+16d2+24d−15,sin(x)=2−1−4d−16d2+24d−15,sin(x)=−2−1−4d−16d2+24d−15
sin(x)=2−1−4d+16d2+24d−15:x=arcsin2−1−4d+16d2+24d−15+2πn,x=π+arcsin−2−1−4d+16d2+24d−15+2πn
sin(x)=2−1−4d+16d2+24d−15
使用反三角函数性质
sin(x)=2−1−4d+16d2+24d−15
sin(x)=2−1−4d+16d2+24d−15的通解sin(x)=a⇒x=arcsin(a)+2πn,x=π+arcsin(a)+2πnx=arcsin2−1−4d+16d2+24d−15+2πn,x=π+arcsin−2−1−4d+16d2+24d−15+2πn
x=arcsin2−1−4d+16d2+24d−15+2πn,x=π+arcsin−2−1−4d+16d2+24d−15+2πn
sin(x)=−2−1−4d+16d2+24d−15:x=arcsin−2−1−4d+16d2+24d−15+2πn,x=π+arcsin2−1−4d+16d2+24d−15+2πn
sin(x)=−2−1−4d+16d2+24d−15
使用反三角函数性质
sin(x)=−2−1−4d+16d2+24d−15
sin(x)=−2−1−4d+16d2+24d−15的通解sin(x)=a⇒x=arcsin(a)+2πn,x=π+arcsin(a)+2πnx=arcsin−2−1−4d+16d2+24d−15+2πn,x=π+arcsin2−1−4d+16d2+24d−15+2πn
x=arcsin−2−1−4d+16d2+24d−15+2πn,x=π+arcsin2−1−4d+16d2+24d−15+2πn
sin(x)=2−1−4d−16d2+24d−15:x=arcsin2−1−4d−16d2+24d−15+2πn,x=π+arcsin−2−1−4d−16d2+24d−15+2πn
sin(x)=2−1−4d−16d2+24d−15
使用反三角函数性质
sin(x)=2−1−4d−16d2+24d−15
sin(x)=2−1−4d−16d2+24d−15的通解sin(x)=a⇒x=arcsin(a)+2πn,x=π+arcsin(a)+2πnx=arcsin2−1−4d−16d2+24d−15+2πn,x=π+arcsin−2−1−4d−16d2+24d−15+2πn
x=arcsin2−1−4d−16d2+24d−15+2πn,x=π+arcsin−2−1−4d−16d2+24d−15+2πn
sin(x)=−2−1−4d−16d2+24d−15:x=arcsin−2−1−4d−16d2+24d−15+2πn,x=π+arcsin2−1−4d−16d2+24d−15+2πn
sin(x)=−2−1−4d−16d2+24d−15
使用反三角函数性质
sin(x)=−2−1−4d−16d2+24d−15
sin(x)=−2−1−4d−16d2+24d−15的通解sin(x)=a⇒x=arcsin(a)+2πn,x=π+arcsin(a)+2πnx=arcsin−2−1−4d−16d2+24d−15+2πn,x=π+arcsin2−1−4d−16d2+24d−15+2πn
x=arcsin−2−1−4d−16d2+24d−15+2πn,x=π+arcsin2−1−4d−16d2+24d−15+2πn
合并所有解x=arcsin2−1−4d+16d2+24d−15+2πn,x=π+arcsin−2−1−4d+16d2+24d−15+2πn,x=arcsin−2−1−4d+16d2+24d−15+2πn,x=π+arcsin2−1−4d+16d2+24d−15+2πn,x=arcsin2−1−4d−16d2+24d−15+2πn,x=π+arcsin−2−1−4d−16d2+24d−15+2πn,x=arcsin−2−1−4d−16d2+24d−15+2πn,x=π+arcsin2−1−4d−16d2+24d−15+2πn